数值分析公式汇总

第2章 非线性方程的数值解法

1. 一般迭代法

对于给定的非线性方程

$$f(x)=0$$

将其等价变换为如下形式：

$$x = g(x)$$

建立迭代格式

$$x_{k+1}=g(x_{k})$$

2. 牛顿迭代法

迭代函数：

$$g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$$

即，

$$x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$$

3. 弦截法

迭代函数:

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f(x_k)-f(x_{k-1})}(x_k-x_{k-1})$$

第3章 线性代数方程组的数值解法

1.高斯消去法、高斯-若当消去法

1. 高斯消去法：

   将线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，然后回代。

2. 高斯-若当法：

   将系数矩阵化为单位阵，从而避免了回代。

3. 全主元法：

   在系数矩阵中每次选取最大的系数，换行换列，归一消元。

4. 列主元法：

   选取每一列的最大元素，换行，消元。

2. 矩阵分解法

1. 克洛特分解法：

   对原方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，转化为$(\mathbf{LU})\mathbf{x}=\mathbf{b}$

   系数矩阵$\mathbf{A}=(\mathbf{LU})$

   其中$\mathbf{U}$ 的主对角线全为1

   求解此方程组等价于依次求解线性方程组

   $$f(\mathbf{x})=\left{\begin{matrix}\mathbf{Ly} & = & \mathbf{b} \\mathbf{Ux} & = & \mathbf{y} \end{matrix}\right.$$

2. 追赶法

第4章 函数的插值与拟合法

1. 拉格朗日插值多项式

$$L_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}y_i\prod\limits_{j\ne i,j=0}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

2. 牛顿插值多项式

均差

一阶均差：

设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，若$x_0\in[a,b]$，则定义

$$g_1(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

为$f(x)$在$[a,b]$上关于点$x_0$的一阶均差函数，记为$f[x_0,x]$。

进一步，定义：

$$g_2(x)=\frac{g_1(x)-g_1(x_1)}{x-x_1}=\frac{f[x_0,x]-f[x_0,x_1]}{x-x_1}$$

插值法

$$\begin{matrix}f(x)=f(x_0)+fx_0,x_1+fx_0,x_1,x_2(x-x_1)\+...+fx_0,x_1,...,x_n(x-x_1)...(x-x_{n-1})\+fx_0,x_1,...,x_n,x(x-x_1)...(x-x_n)\end{matrix}$$

记作 $$f(x)=N_n(x)+R_n(x)$$

这里

$$N_n(x)=f(x_0)+\sum\limits_{k=1}^{n}f[x_0,x_1,...,x_k]\omega_k(x)$$

为$n$次多项式，其中

$$\omega_k=\prod\limits_{j=0}^{k-1}(x-x_j)(k=1,2,...,n)$$

$$R_n(x)=f[x_0,x_1,...,x_n,x]\omega_{n+1}(x)$$

第5章 插值型数值微分与数值积分