数值分析公式汇总
第2章 非线性方程的数值解法
1. 一般迭代法
对于给定的非线性方程
f(x)=0
将其等价变换为如下形式:
x=g(x)
建立迭代格式
xk+1=g(xk)
2. 牛顿迭代法
迭代函数:
g(x)=x−f′(x)f(x)
即,
xk+1=xk−f′(xk)f(xk)
3. 弦截法
迭代函数:
xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)f(xk)(xk−xk−1)
第3章 线性代数方程组的数值解法
1.高斯消去法、高斯-若当消去法
高斯消去法:
将线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵,然后回代。
高斯-若当法:
将系数矩阵化为单位阵,从而避免了回代。
全主元法:
在系数矩阵中每次选取最大的系数,换行换列,归一消元。
列主元法:
选取每一列的最大元素,换行,消元。
2. 矩阵分解法
克洛特分解法:
对原方程Ax=b,转化为(LU)x=b
系数矩阵A=(LU)
其中U 的主对角线全为1
求解此方程组等价于依次求解线性方程组
f(x)={LyUx==by
追赶法
第4章 函数的插值与拟合法
1. 拉格朗日插值多项式
Ln(x)=i=0∑nyij≠i,j=0∏nxi−xjx−xj
2. 牛顿插值多项式
均差
一阶均差:
设f(x)在区间[a,b]上连续,若x0∈[a,b],则定义
g1(x)=x−x0f(x)−f(x0)
为f(x)在[a,b]上关于点x0的一阶均差函数,记为f[x0,x]。
进一步,定义:
g2(x)=x−x1g1(x)−g1(x1)=x−x1f[x0,x]−f[x0,x1]
插值法
f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+...+f[x0,x1,...,xn](x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)+f[x0,x1,...,xn,x](x−x0)(x−x1)...(x−xn)
记作
f(x)=Nn(x)+Rn(x)
这里
Nn(x)=f(x0)+k=1∑nf[x0,x1,...,xk]ωk(x)
为n次多项式,其中
ωk=j=0∏k−1(x−xj)(k=1,2,...,n)
Rn(x)=f[x0,x1,...,xn,x]ωn+1(x)
第5章 插值型数值微分与数值积分