# 数值分析公式汇总

# 第2章 非线性方程的数值解法

# 1. 一般迭代法

对于给定的非线性方程

f(x)=0f(x)=0

将其等价变换为如下形式:

x=g(x)x = g(x)

建立迭代格式

xk+1=g(xk)x_{k+1}=g(x_{k})

# 2. 牛顿迭代法

迭代函数:

g(x)=xf(x)f(x)g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}

即,

xk+1=xkf(xk)f(xk)x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}

# 3. 弦截法

迭代函数:

xk+1=xkf(xk)f(xk)f(xk1)(xkxk1)x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f(x_k)-f(x_{k-1})}(x_k-x_{k-1})

# 第3章 线性代数方程组的数值解法

# 1.高斯消去法、高斯-若当消去法

  1. 高斯消去法:

    将线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵,然后回代。

  2. 高斯-若当法:

    将系数矩阵化为单位阵,从而避免了回代。

  3. 全主元法:

    在系数矩阵中每次选取最大的系数,换行换列,归一消元。

  4. 列主元法:

    选取每一列的最大元素,换行,消元。

# 2. 矩阵分解法

  1. 克洛特分解法:

    对原方程Ax=b\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b},转化为(LU)x=b(\mathbf{LU})\mathbf{x}=\mathbf{b}

    系数矩阵A=(LU)\mathbf{A}=(\mathbf{LU})

    其中U\mathbf{U} 的主对角线全为1

    求解此方程组等价于依次求解线性方程组

    f(x)={Ly=bUx=yf(\mathbf{x})=\left\{\begin{matrix}\mathbf{Ly} & = & \mathbf{b} \\\mathbf{Ux} & = & \mathbf{y} \end{matrix}\right.

  2. 追赶法

# 第4章 函数的插值与拟合法

# 1. 拉格朗日插值多项式

Ln(x)=i=0nyiji,j=0nxxjxixjL_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}y_i\prod\limits_{j\ne i,j=0}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

# 2. 牛顿插值多项式

# 均差

一阶均差:

f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上连续,若x0[a,b]x_0\in[a,b],则定义

g1(x)=f(x)f(x0)xx0g_1(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

f(x)f(x)[a,b][a,b]上关于点x0x_0的一阶均差函数,记为f[x0,x]f[x_0,x]

进一步,定义:

g2(x)=g1(x)g1(x1)xx1=f[x0,x]f[x0,x1]xx1g_2(x)=\frac{g_1(x)-g_1(x_1)}{x-x_1}=\frac{f[x_0,x]-f[x_0,x_1]}{x-x_1}

# 插值法

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)+...+f[x0,x1,...,xn](xx0)(xx1)...(xxn1)+f[x0,x1,...,xn,x](xx0)(xx1)...(xxn)\begin{matrix}f(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\+...+f[x_0,x_1,...,x_n](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})\\+f[x_0,x_1,...,x_n,x](x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)\end{matrix}

记作

f(x)=Nn(x)+Rn(x)f(x)=N_n(x)+R_n(x)

这里

Nn(x)=f(x0)+k=1nf[x0,x1,...,xk]ωk(x)N_n(x)=f(x_0)+\sum\limits_{k=1}^{n}f[x_0,x_1,...,x_k]\omega_k(x)

nn次多项式,其中

ωk=j=0k1(xxj)(k=1,2,...,n)\omega_k=\prod\limits_{j=0}^{k-1}(x-x_j)(k=1,2,...,n)

Rn(x)=f[x0,x1,...,xn,x]ωn+1(x)R_n(x)=f[x_0,x_1,...,x_n,x]\omega_{n+1}(x)

# 第5章 插值型数值微分与数值积分

最后更新: 2020-06-11